指数增长模型¶
200多年前英国人口学家T. Malthus (1766-1834)调查了英国100多年的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。 记时刻$t$的人口为$x(t)$，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，$x(t)$是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将$x(t)$视为连续、可微函数， 记初始时刻$(t=0)$的人口为$x_0$，
模型假设¶
- （1）设 $x(t)$ 表示 $t$ 时刻的人口数, 且 $x(t)$ 连续可微。
- (2) 人口的增长率 $r$ 是常数 (增长率=出生率-死亡率)。
- (3) 人口数量的变化是封闭的, 即人口数量的增加与减少只取决于人 口中个体的生育和死亡, 且每一个体都具有同样的生育能力与死亡率。
建模及求解¶
于是得到$x(t)$满足微分方程
$$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=r x, x(0)=x_{0} $$由这个方程,通过分离变量法解出其解析解:
分离变量法求解微分方程
先分离变量
$$ \frac{\mathrm{d} x}{x}=r \mathrm{d} t $$两边同时积分
$$ \int \frac{\mathrm{d} x}{x} = \int r \mathrm{d} t $$最终得 $$ x(t)=x_{0} e^{r t} $$
$r>0$时，上式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型．
模型评价¶
考虑二百多年来人口增长的实际情况， 1961 年世界人口总数为 $3.06 \times 10^{9}$, 在 $1961 \sim 1970$ 年这段时间内, 每年平均的人口自然增长率为 $2 \%$ ，则模型可写为 $$ x(t)=3.06 \times 10^{9} \cdot e^{0.02(t-1961)} \cdot(8.19) $$ 根据 1700 1961 年间世界人口统计数据, 发现这些数据与上式的计算结果相当符合。因为在这期间地球上人口大约每 35 年增加1倍，而模型算出每 34.6 年增加1倍。
但是, 利用上式对世界人口进行预测, 也会得出惊异的结论, 当 $t=2670$ 年时, $x(t)=4.4 \times 10^{15}$, 即 4400 万亿, 这相当于地球上每平方米要容纳至少 20 人。 显然, 用这一模型进行预测的结果远高于实际人口增长, 误差的原因是对增长率 $r$ 的估计过高。由此, 可以对$r$是常数的假设提出疑问。
阻滞增长模型一logistic模型¶
分析人口增长到一定数量后增长率下降的原因，人们发现，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。
模型假设及建模¶
阻滞作用体现在对人口增长率$r$的影响上，使得$r$随着人口数$x$的增加而下降。若将$r$表示为$x$的函数$r(x)$，则它应是减函数。 于是
$$ \frac{d x}{d t}=r(x) x, x(0)=x_{0} $$对$r(x)$的一个最简单的假定是，设$r(x)$为$x$的线性函数，即 $$ r(x)=r-s x(r, s>0) $$ 这里$r$称固有增长率，表示人口很少时（理论上是$x = 0$)的增长率．为了确定系数$s$的意义，引人自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量$x_m$，称人口容量．当 $x=x_m$时人口不再增长，即增长率$r(x_m)=0$ 于是
$$ r(x)=r\left(1-x / x_{m}\right) $$代回原方程，得到
$$ \frac{d x}{d t}=r x\left(1-\frac{x}{x_{m}}\right), \quad x(0)=x_{0} $$方程右端的因子$rx$体现人口自身的增长趋势，因子$(1-\dfrac{x}{x_m})$则体现了环境和资源对人口增长的阻滞作用．
显然．$x$越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果，上式称为阻滞增长模型,同样地，我们使用分离变量法求解这个方程
模型求解¶
分离变量法求解logistic模型
原方程分离变量后 $$ \frac{\mathrm{d} x}{x\left(1-\dfrac{x}{x_{m}}\right)}=r \mathrm{d} t $$
等式左边变形 $$ \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x_m - x} \right) \mathrm{d} x =r \mathrm{d} t $$
两边同时积分 $$ \int \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x_m - x} \right) \mathrm{d} x =\int r \mathrm{d} t $$
进而得到 $$ x = \frac{x_m}{1+C_1e^{-rt}} $$
带入初始条件 $$ x(0) = \frac{x_m}{1+C_1} = x_0 $$ 得到 $$ C_1 = \frac{x_{m}}{x_{0}}-1 $$
最终得到 $$ x(t)=\frac{x_{m}}{1+\left(\frac{x_{m}}{x_{0}}-1\right) e^{-r t}} $$
模型检验¶
由上述模型可得人口总数 $x(t)$ 有如下规律:
- (1) $\lim _{t \rightarrow+\infty} x(t)=x_{m}$, 即无论人口初值 $x_{0}$ 如何, 人口总数以 $x_{m}$ 为极限。
- (2) 当 $0<x_{0}<x_{m}$ 时, $\frac{d x}{d t}=r\left(1-\frac{x}{x_{m}}\right) x>0$, 这说明 $x(t)$ 是单调增加的, 当 $x<\frac{x_{m}}{2}$ 时, $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}>0, x=x(t)$ 为凹函数, 当 $x>\frac{x_{m}}{2}$ 时, $\frac{d^{2} x}{d t^{2}}<0, x=x(t)$ 为凸函数。
- (3) 人口变化率 $\frac{d x}{d t}$ 在 $x=\frac{x_{m}}{2}$ 时取到最大值, 即人口总数达到极限值一 半以前是加速生长时期, 经过这一点之后, 增长速率会逐渐变小, 最终达到 零。
上面的阻滞增长模型，是荷兰生物数学家Verhulst 19世纪中叶提出的．它不仅能够大体上描述人口及许多物种数量（如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等）的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，例如耐用消费品的销售就可以用它来描述。基于这个模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律，人们常称它为logistic模型。
案例¶
利用下表给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万 为单位), 建立人口预测模型, 最后用它预报 2010 年美国的人口。
建模与求解¶
记 $x(t)$ 为第 $t$ 年的人口数量, 设人口年增长率 $r(x)$ 为 $x$ 的线性函数, $r(x)=r-s x$ 。自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为 $x_{m}$, 即当 $x=x_{m}$ 时, 增长率 $r\left(x_{m}\right)=0$, 可得 $r(x)=r\left(1-\frac{x}{x_{m}}\right)$, 建立 Logistic 人口模型 $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{d x}{d t}=r\left(1-\frac{x}{x_{m}}\right) x, \\ x\left(t_{0}\right)=x_{0} \end{array}\right. $$ 其解为 $$ x(t)=\frac{x_{m}}{1+\left(\frac{x_{m}}{x_{0}}-1\right) e^{-r\left(t-t_{0}\right)}} . $$
参考资料
- 参考资料
- Python数学实验与建模/司守奎,孙玺菁科学出版社
- ThomsonRen github https://github.com/ThomsonRen/mathmodels